머신러닝은 데이터에서 패턴을 찾아내어 예측하거나 분류하는 것을 목표로 합니다. 이를 위해서는 기초적인 수학 개념을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 머신러닝 모델은 수학적 함수로 표현되며, 학습 과정은 이 함수를 최적화하는 과정이므로 수학적 배경 지식이 필수적입니다. 이번 글에서는 머신러닝을 공부하는 데 필요한 주요 수학 개념들을 다뤄보겠습니다.
머신러닝에서 사용하는 수학은 크게 선형대수학, 미적분학, 확률 및 통계, 그리고 최적화 이론으로 나뉩니다. 각각의 수학 개념은 머신러닝 모델의 특정 부분에서 중요한 역할을 합니다. 이 글을 통해 이러한 개념을 보다 쉽게 이해하고, 머신러닝 모델을 구축하는 데 자신감을 가질 수 있도록 도와드리겠습니다.
선형대수학
벡터와 행렬
선형대수학은 머신러닝의 기반이 되는 중요한 수학 분야입니다. 특히 벡터와 행렬은 데이터를 다루는 데 필수적입니다. 벡터는 여러 개의 숫자를 하나로 묶은 배열로, 예를 들어 하나의 데이터 포인트가 여러 개의 특징(feature)을 가지는 경우 각 특징은 벡터로 표현됩니다.
행렬은 벡터를 여러 개 모아놓은 구조로, 데이터를 쉽게 처리하고 변환하는 데 유용합니다. 예를 들어, 머신러닝에서 입력 데이터를 표현하는 가장 흔한 방법 중 하나가 행렬입니다. 각 행은 하나의 데이터 포인트를, 각 열은 하나의 특징을 나타냅니다.
선형변환
선형변환은 벡터와 행렬을 이용해 데이터를 변환하는 방법입니다. 예를 들어, 데이터의 차원을 줄이거나, 데이터를 다른 공간으로 변환하여 더 나은 분류 성능을 얻기 위해 사용됩니다. 선형 변환의 대표적인 예로는 행렬 곱이 있습니다. 행렬 곱을 통해 모델의 가중치(weight)를 데이터에 적용하는 것이 머신러닝 알고리즘의 핵심 과정 중 하나입니다.
고윳값과 고유벡터
고유값과고윳값과 고유벡터는 선형변환의 중요한 개념 중 하나입니다. 머신러닝에서는 차원 축소 기법인 PCA(Principal Component Analysis, 주성분 분석)에서 고윳값과 고유벡터가 사용됩니다. 고윳값과 고유벡터를 통해 데이터의 중요한 정보를 유지하면서도 불필요한 차원을 줄일 수 있습니다.
미적분학
함수와 미분
미적분학은 머신러닝 모델을 최적화하는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 특히, 모델 학습 과정에서 손실 함수(loss function)를 최소화하는 방법은 미적분학에 기반합니다. 머신러닝에서 목표는 주어진 데이터를 가장 잘 설명하는 모델을 찾는 것인데, 이 모델을 최적화하는 과정에서 미분이 자주 사용됩니다.
미분은 함수의 변화율을 나타내는 도구로, 모델이 손실을 줄이는 방향을 찾는 데 사용됩니다. 예를 들어, 경사 하강법(Gradient Descent)은 손실 함수의 기울기를 이용해 최적화 방향을 찾아가는 알고리즘입니다.
편미분과 기울기
편미분은 여러 변수에 대해 미분을 적용한 것으로, 모델의 파라미터가 여러 개일 때 각 파라미터가 손실 함수에 얼마나 영향을 미치는지 계산하는 데 사용됩니다. 기울기는 이러한 편미분 값을 모은 벡터로, 경사 하강법에서 가장 자주 사용됩니다.
적분
적분은 누적된 값을 계산하는 수학적 도구로, 머신러닝에서는 확률 밀도 함수(PDF)를 계산하거나 연속적인 데이터를 다루는 데 사용됩니다. 딥러닝에서는 주로 미분을 통해 최적화를 수행하지만, 확률론적 모델에서는 적분이 중요한 역할을 합니다.
확률 및 통계
확률 분포
확률 분포는 머신러닝에서 불확실성을 다루는 중요한 개념입니다. 데이터가 특정 값이나 범위 안에 있을 확률을 나타내는 함수가 확률 분포입니다. 머신러닝에서는 정규 분포(Gaussian distribution)와 같은 다양한 분포가 사용됩니다. 이러한 분포를 통해 모델이 예측한 값이 어느 정도 신뢰할 수 있는지를 평가할 수 있습니다.
베이즈 정리
베이즈 정리는 머신러닝에서 특히 중요합니다. 주어진 데이터를 기반으로 사전 확률(prior probability)을 업데이트하여 사후 확률(posterior probability)을 계산하는 방식입니다. 이를 통해 모델은 더 나은 예측을 할 수 있으며, 특히 베이지안 네트워크나 나이브 베이즈와 같은 알고리즘에서 자주 사용됩니다.
기대값과 분산
기댓값은 확률 분포에서 나올 수 있는 값들의 평균을 나타내며, 분산은 값들이 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다. 머신러닝에서는 이러한 통계적 개념을 통해 모델의 성능을 평가하거나, 데이터를 이해하는 데 사용됩니다.
최적화 이론
손실 함수
손실 함수는 모델의 예측과 실제 값 사이의 차이를 측정하는 함수입니다. 모델이 학습하는 과정에서 목표는 이 손실 함수를 최소화하는 것입니다. 머신러닝에서는 MSE(Mean Squared Error), 크로스 엔트로피 손실(Cross-Entropy Loss) 등 다양한 손실 함수가 사용됩니다.
경사 하강법
경사 하강법은 손실 함수를 최소화하는 가장 일반적인 최적화 알고리즘입니다. 손실 함수의 기울기를 계산하고, 그 기울기를 따라 손실이 줄어드는 방향으로 모델의 파라미터를 업데이트하는 방식입니다. 확률적 경사 하강법(SGD)은 경사 하강법의 변형으로, 대규모 데이터셋에서 효율적으로 사용할 수 있습니다.
정규화 기법
모델이 과적합(overfitting)되는 것을 방지하기 위해 정규화(regularization) 기법이 사용됩니다. 대표적인 방법으로는 L1, L2 정규화가 있으며, 이는 손실 함수에 페널티 항을 추가하여 모델이 너무 복잡해지지 않도록 합니다.
결론
머신러닝을 이해하고 효과적으로 사용하는 데 있어 위에서 다룬 수학 개념들은 매우 중요합니다. 선형대수학, 미적분학, 확률 및 통계, 그리고 최적화 이론을 기반으로 머신러닝 모델은 학습하고, 데이터를 분석하며, 예측을 수행합니다. 이 기초 수학 개념들을 확실하게 익힌다면, 머신러닝 알고리즘의 원리와 구현을 보다 명확하게 이해할 수 있을 것입니다.